5.3. 거듭제곱의 원리

5.3.1. 절댓값 최대의 고윳값을 구하는 경우

• 적당히 고른 초깃값 벡터 v에 대해 A를 반복하여 곱한다.
• A의 절댓값 최대의 고윳값에 대응하는 고유벡터 x_1의 방향에 다가가는 것을 이용한다.
• 고윳값의 절댓값이 1보다 큰 경우는 각 성분이 너무 커지고, 1보다 작은 경우는 너무작아진다. 따라서 각 스텝에서 길이가 1이 될 수 있도록 조절하며 계산해야 한다.

 

 

5.3.2. 절댓값 최소의 고윳값을 구하는 경우

• 적당히 고른 초깃값 벡터 v에 대해 역행렬 A^-1를 반복하여 곱한다.
• A의 절댓값 최소의 고윳값에 대응하는 고유벡터 x_n의 방향에 가까워짐을 이용한다.
• 실제 계산할 때는 역행렬을 구하는데 계산량이 많이 필요하므로 LU 분해를 한다.

 

 

5.3.3. QR 분해

 

Q는 A의 열벡터의 그람-슈미트(Gram-Schmidt) 정규직교화, R은 A의 열벡터의 정규직교기저에 관한 성분표시

• 열벡터가 선형독립인 임의의 행렬 A는 직교행렬 Q와 우상삼각행렬 R의 곱으로 분해된다.

 

 

5.3.4. 모든 고윳값을 구하는 경우

• 적당히 고른 n개의 선형독립인 초깃값 벡터 v1, ... , vn에 대해 A를 반복하여 곱한다.
• 이들을 그람-슈미트 방법으로 정규직교화한 것이 A의 고유벡터가 만드는 계층적인 부분공간의 정규직교기저에 가까워짐을 이용한다.
• 고윳값은 변화하지 않는다.
• 우상삼각행렬은 대각성분이 고윳값이므로 이것으로 행렬 A의 모든 고윳값이 구해진다.

 

 

 

출처: 히라오카 카즈유키, 호리 겐, 『프로그래머를 위한 선형대수』, 이창신, 길벗, 2017.