프로그래머를 위한 선형대수

5.4.1. QR법의 원리 QR법의 반복 고윳값을 구하고 싶은 행렬을 QR 분해한다. 분해한 결과를 역순으로 곱한다. 곱한 결과를 또 QR 분해한다. 분해한 결과를 역순으로 곱한다. 이를 반복하면 A_k는 A_0의 고윳값을 대각성분으로 지니는 우상삼각행렬에 가까워진다. QR법의 반복은 닮음 변환 행렬을 QR 분해하여 역순으로 곱하는 것은 행렬을 QR 분해하여 얻은 직교행렬을 닮음변환하는 것이다. 고윳값은 변하지 않는다. 왜 우상삼각행렬로 향하는가 QR법과 거듭제곱법의 모든 고윳값을 구하는 경우에서 단위행렬을 초깃값으로 한 경우는 k스텝의 값 A_k는 같다. 5.4.2. 헤센버그 행렬 우선 닮음변환으로 해센버그(Hessenberg) 행렬이라는 형태로 변환하고 나서 QR 반복을 시행 헤센버그 행렬은 QR 반..

5.3.1. 절댓값 최대의 고윳값을 구하는 경우 적당히 고른 초깃값 벡터 v에 대해 A를 반복하여 곱한다. A의 절댓값 최대의 고윳값에 대응하는 고유벡터 x_1의 방향에 다가가는 것을 이용한다. 고윳값의 절댓값이 1보다 큰 경우는 각 성분이 너무 커지고, 1보다 작은 경우는 너무작아진다. 따라서 각 스텝에서 길이가 1이 될 수 있도록 조절하며 계산해야 한다. 5.3.2. 절댓값 최소의 고윳값을 구하는 경우 적당히 고른 초깃값 벡터 v에 대해 역행렬 A^-1를 반복하여 곱한다. A의 절댓값 최소의 고윳값에 대응하는 고유벡터 x_n의 방향에 가까워짐을 이용한다. 실제 계산할 때는 역행렬을 구하는데 계산량이 많이 필요하므로 LU 분해를 한다. 5.3.3. QR 분해 Q는 A의 열벡터의 그람-슈미트(Gram-S..

5.2.1. 평면 회전 전치행렬이 곧 역행렬이 된다. 5.2.2. 평면 회전에 의한 닮은변환 야코비법 이를 반복시행하면서 대각행렬에 다가가는 알고리즘 f(A)가 0으로 향한다는 것은 A가 대각행렬로 향한다는 것을 의미한다. 5.2.3. 계산 공부 이를 토대로 sin 값도 구할 수 있다. 출처: 히라오카 카즈유키, 호리 겐, 『프로그래머를 위한 선형대수』, 이창신, 길벗, 2017.

5.1.1. 손 계산과 차이점 특성방정식의 랭크를 정밀하게 구하는 것 자체가 어렵다 P^-1AP = 대각행렬 또는 상삼각행렬 꼴로 변형한다. 우변 행렬의 대각성분이 고윳값이 된다. 이 경우 고차랭크방정식을 푸는 과정을 생략할 수 있다. 5.1.2. 갈루아 이론 5차 미만의 대수방정식에는 해의 공식이 존재한다. 5차 이상의 대수방정식에는 해의 공식이 존재하지 않는다. 해를 구하는 절차가 존재하다면 이를 공식으로 만들 수 있다는 뜻이다. 하지만 공식의 형태로 나타내는 것이 지나치게 복잡하면 그렇게 하지 않는다. 예를 들어 3,4차 방정식에 대해서는 절차로만 나타낸다. 5.1.3. 5x5 이상 행렬의 고윳값을 구하는 순서는 존재하지 않는다! 5차 이상의 대수방정식을 푸는 순서가 존재하지 않으므로 위 진술이 자..

4.7.1. 먼저 결론 폭주 판정의 결론은 거의 변하지 않는다. 단, 특수한 경우 미묘한 문제가 발생한다. 4.7.2. 대각까지는 못하더라도 - 요르단표준형 대각화할 수 없는 정방행렬 A라도 대각에 가까운 요르단 표준형이라면 반드시 변환할 수 있다. 블록대각(블록정방행렬이고, 대각블록 이외는 모두 0) 대각블록의 성질 대각성분에 같은 수가 나열 하나 오른쪽 위는 1이 비스듬히 늘어섬 위와 같은 것을 요르단 셀이라고 한다. 여기서는 크기 5, 2, 1, 3 짜리 요르단 셀이 늘어서 있다. 행렬 A를 변환하여 만들 수 있는 요르단 표준형은 한 가지이다. 4.7.3. 요르단 표준형의 성질 폭주 판정과 관련이 있다. 고윳값, 고유벡터의 모양이 보인다. 거듭제곱을 구체적으로 계산할 수 있다. 요르단 표준형의 고윳..

연속시간 시스템에 대해서도 폭주를 판정해야 한다. 4.6.1. 미분방정식 미분방정식 미지의 함수와 그 미분을 포함하는 등식을 보고, 이 등식이 성립하는 함수를 답하는 것 상미분방정식 하나의 변수 t의 함수 x(t)에 대한 방정식인 것을 강조하는 경우 편미분방정식과 대비한 호칭 4.6.2. 1차원일 때 4.6.3. 대각행렬일 때 a1, ... , an 중 하나라도 양수라면 폭주, 그렇지 않다면 폭주하지 않는다. 단, 이는 ai가 복소수가 아닐 때만 해당한다. 4.6.4. 대각화할 수 있는 경우 이 변환법은 이산시간의 경우와 동일하다. 4.6.5. 결론: 고윳값(실수부)의 부호 출처: 히라오카 카즈유키, 호리 겐, 『프로그래머를 위한 선형대수』, 이창신, 길벗, 2017.