Moving to multivariate

1. Variables, constants & context

• time은 독립변수, speed는 종속변수다.
  즉, speed가 time이 커짐에 따라 변화하는 것이지 그 반대가 아니라는 뜻이다.
• 우리는 이처럼 그래프가 지니는 의미를 파악하고 미분을 결정해야한다.
  우리가 수행하는 미분은 '종속변수'에 대한 것이다.

 

• 이 예시에서 F는 a와 v에 의해 결정되는 종속변수라고 생각된다.
  그리고 m과 d는 상수이다.
• 하지만 speed에 대한 식에 F가 영향을 주는 경우에서 F는 독립변수가 된다.
  또 자동차를 제작하는 상황이라고 한다면 m,d도 독립변수가 될 수 있을 것이다.

 

캔의 부피 m의 정의, t는 두께를 뜻한다.

• m에 관한 식에는 h,r,t,p(roh)라는 네 개의 변수가 존재한다.
  따라서 1D에 대한 미분을 그대로 수행할 수 없다.
  여러 개의 변수가 존재하는 경우 미분을 수행하기 위해서는 각 변수에 미분을 따로 수행하되, 이때 나머지 변수들은 상수(constant) 취급을 해야한다.
• 결국 편미분은 다차원(여러 개의 변수)의 문제를 일차원(1D) 문제로 변형해서 처리하는 과정인 것이다.

 

 

2. Differentiate with respect to anything

• 세 개의 변수 x,y,z로 구성된 함수 f에 대해 각 변수별로 미분을 할 수도 있다.
  하지만 x,y,z가 하나의 변수 t로 치환될 수 있다면 훨씬 간단한 형태로 정리할 수 있을 것이다.

• 하나의 변수 t에 대해 미분을 수행한 것으로 인식하게 만들기 위해 세 변수에 대해 먼저 편미분을 수행한다.
  그리고 이것을 다시 t에 대해 미분하여 곱한다. 이것이 chain rule이다.
  마지막에 그 결과들을 전부 더해주면 된다.

• 편미분을 수행한 뒤 x,y,z를 t에 관한 식으로 치환하고, t에 대해 미분한 값을 각 결과에 곱해준다.
  그렇게 나온 식들을 전부 더한 결과인 전미분(total derivative)은 굉장히 간단한 형태를 띤다.
  여기서는 같은 항이 다른 부호를 가지고 나타나 상쇄되기 때문이다.

• 이를 정리하면 위와 같이 깔끔하게 표현이 가능하다.

 

3. Practicing partial differentiation

• 편미분과 전미분에 대한 풀이(5문제)
  • 다항함수뿐만 아니라 지수함수와 삼각함수에 대한 미분도 포함되어 있다.
  • power rule과 chain rule을 정확히 이해하고 있어야 풀 수 있다.
    chain rule의 경우 각각 편미분을 한 결과에 t에 대해 미분한 결과를 곱해주는 것을 잊으면 안된다.

 

 

 

출처: Coursera, Mathematics for Machine Learning: Multivariate Calculus, Imperial College London.