Dot product

1. Dot product

• 두 벡터가 있을 때, 두 벡터의 1) 길이 2) 사이의 각도 3) 거리를 구하기 위해서는 벡터 공간의 기하학적 특징(geometric properties in a vector space)과 관련이 있는 inner product(내적)가 필요하다.

• transpose를 취하는 것은 행렬간의 곱을 위한 size 조정이다.
• 1) 벡터의 길이는 자기 자신과 자기 자신의 transpose를 곱한 것에 루트를 씌운 것이다.
  계산 자체는 각 원소를 제곱하여 더한 것에 루트를 씌운 것과 같다.
• 2) 두 벡터 사이의 거리는 두 벡터의 뺄셈의 norm을 구한 것과 같다.
• 3) 이제 코사인 법칙을 이용하여 두 벡터 사이의 각을 구할 수 있다.
  코사인 알파(두 벡터 사이의 각)는 "두 벡터의 내적"을 '각 벡터의 길이(distance, norm)의 곱'으로 나눈 것과 동일하다.
  코사인 법칙을 어떻게 사용할 수 있었는지는 아래의 캡쳐본과 링크를 참고할 수 있다.

https://proofwiki.org/wiki/Cosine_Formula_for_Dot_Product

Cosine Formula for Dot Product - ProofWiki

 

2. Dot product(Quiz)

• 열벡터의 길이(length) 구하기: 단순히 자기자신과 내적을 취하면 된다.(1문제)
  • + 단순 내적 구하기(1문제)
  • numpy로 벡터 x의 길이를 정의하는 문제가 있다.
    벡터의 길이는 자기 자신과 곱한 벡터의 원소들을 모두 더하고 루트를 씌운 값이다.
    따라서 np.dot(x,x)를 이용할 수 있다.
    (또는 행렬곱 x @ x.T 를 이용하여 구해진 벡터의 원소를 전부 더하고 루트를 씌울수도 있다)
• 열벡터의 내적(dot product)을 통해 두 벡터 사이의 각도 구하기(라디안)(2문제)
  • 공부한 내용에 따르면 'a = 두 벡터 사이의 각도'로 정의할 때, cos(a) = 내적 / 각 벡터 길이의 곱이다.
    결국 우리가 구하고자 하는 것은 a(라디안)이므로 cos의 역함수를 취해줘야 값을 구할 수 있다.

• 두 벡터 사이의 거리 구하기(1문제)
  • 벡터의 차를 내적하면 된다.

 

맥북의 계산기는(공학 포함) 좀 구린 것 같으니 인터넷 사이트를 이용하도록 하자.

 

'함수' 탭에서 코사인의 역함수(아크 코사인)을 선택하고 나머지 변수를 입력한 뒤,
'호도법'을 선택했을 때의 값을 소수점 2자리까지 반올림해서 정답을 입력하면 된다.

반올림해서 3.00 으로 답안을 입력한다.

https://www.desmos.com/scientific?lang=ko 

Desmos | 공학용 계산기

 

 

 

출처: Coursera, Mathematics for Machine Learning: PCA, Imperial College London.