Taylor series for approximations(2)

1. Power series details

• 기존과 달리 Taylor series에서는 x=0이 아닌 어떤 point에서 접근해도 상관 없다고 본다.
• 따라서 여기서는 x = p로 가정하고 접근한다.

 

• Taylor Series에서 p = 0을 대입하면 기존의 Maclaurin Series와 동일해지는 것을 확인할 수 있다.
• 위에 정리된 식처럼 만약 2차식을 미분하게 되면 미분 과정에서 계수 때문에 2!이 분모가 될 것임을 짐작 가능하다.
• 이 과정을 일반화한 것이 Taylor Series가 된다.

 

 

2. Applyting the Taylor series (Quiz)

• 여러 f(x)에 대해 x = 0(Maclaurin) 또는 x = p(Taylor) 의 근사 함수를 구하는 문제가 출제된다.
  • 이를 위해서 분수함수의 미분(몫의 미분법), 지수함수의 미분, 로그함수의 미분, 무리함수의 미분을 이해하고 있어야 한다.
  • 특정 함수에 대해 general equation을 직접 구하는 문제가 가장 어려웠다(2문제).
  • 이 경우 미분을 반복적으로 수행하되, n! 로 나눠야 한다는 것을 잊지 않아야 정답을 찾을 수 있다.

 

 

3. Examples

• 첫 번째 예는 코사인 함수이다.
  • 코사인 함수는 그 미분 규칙에 따라 짝수번째의 미분계수가 전부 0이 되는 것을 확인할 수 있다.
  • 이를 일반화하고 실제로 컴퓨터에게 계산을 맡기면, 약 16번째 정도에 이르러서 원그래프와 굉장히 유사한 그래프를 그린다는 것을 확인할 수 있다.

 

• f(x) = 1/x 의 경우 x = 0에 대해 정의되지 않으므로 x = 1인 지점에 대해 Taylor Series를 적용할 수 있다.
• 따라서 위와 같이 테일러 급수를 적용하면 실제로 함수값이 양의 무한대와 음의 무한대를 왔다갔다 하는 것을 확인할 수 있다.
• 또한 x < 0 영역에 대해서는 함수값을 구할 수 없다.
• 즉, 연속성이 없어 모든 지점에 대해 미분을 정의할 수 없는 함수에 대해서는 테일러 급수를 적용하기 어렵다는 것을 알 수 있다.

 

 

 

출처: Coursera, Mathematics for Machine Learning: Multivariate Calculus, Imperial College London.