When changing to the eigenbasis is really useful

1. Changing to the eigenbasis

 

• T라는 사상이 주어진 벡터를 어떻게 이동시키는지는 매번 행렬 T를 곱해보아야 알 수 있다.
• 그러나 시행 횟수 n이 커질수록 이 계산은 매우 복잡해지므로 간단하게 만들고자 한다.
• 이때 diagonal matrix(대각행렬)를 사용하면 이 과정을 간단하게 만들 수 있다.
  대각행렬은 주대각선은 전부 1이고, 나머지는 전부 0인 행렬을 말한다.

• 대각행렬 T를 반복적으로 곱하면 주대각성분만 제곱의 형태가 된다.
• 고유벡터로 이루어진 행렬 C와, 단위 행렬에 고윳값을 곱한 행렬 D가 있다.
• T를 위와 같은 방식으로 구하면 C와 C의 역행렬이 사라지며 계산량이 확연하게 줄어들고 일반화도 가능하다.

위 과정을 도식화한 것

 

 

2. Eigenbasis example

 

• horizontal shear 사상을 가진 행렬 T의 고유벡터와 고윳값을 구한다.
• 여기서 구한 고유벡터에 좌표를 곱해주면 T 사상을 기준으로 좌표가 표현된다.
•  

• 이제는 T의 n승을 그대로 구해 계산하지 않고 고유벡터와 그 역행렬을 통해 구해보고자 한다.

 

• 동일한 결과가 나온다는 것을 알 수 있다.
• 반복 횟수가 커질수록 실제 계산해야 되는 양이 줄어드므로 이 방식이 훨씬 효율적이다.
• 중간에 계산되는 행렬 D가 대각행렬이기 때문에 연산이 아주 간편하다.
• 이 개념은 다차원으로 혹은 직사각행렬으로 확장될 수 있다.

 

 

3. Diagonalisation(대각선화) and applications

 

• 2차원 벡터 T를 기준으로 D를 구하거나 혹은 그 반대를 구하는 문제 (4문항)
• 2차원 벡터 T의 n승을 구하는 문제(eigen vector 활용) (3문항)

 

 

 

4. Visualising Matrices and Eigen

 

• 팽창, 회전, 기울기, 반사 등의 변형을 직접 시각적으로 확인할 수 있는 툴

 

 

 

출처: Coursera, Mathematics for Machine Learning: Linear Algebra, Imperial College London