Jacobians - vectors of derivatives

 1. The Jacobian

• J is a vector pointing the direction of steepest slope of this function.
• J는 여러 개의 변수로 구성된 함수 f의 각 변수에 대해 편미분한 것들을 모아놓은 벡터이다.

 

2D example

• x,y축에 따른 z의 값이 표현된 좌표평면이다.
  z의 값이 클수록 밝게 표시되고, z의 값이 작을수록 어둡게 표시된다.

3차원으로 표시한 예

• 이를 등고선으로 표현하면 위와 같다.
• 여기서 어떤 것의 J 값이 가장 클까?
  z의 값이 가장 크다고 표현된 A의 J 값이 가장 크고, 가장 어두운 곳에 위치한 B의 J 값이 가장 작은 것이다.

 

2. Calculating the Jacobian

• Jacobian(편미분 벡터)를 구하기(3문제)
• Jacobian에 특정 값 대입하여 계산하기(2문제)
  • 이 문제 set에 포함되는 함수들도 이전과 마찬가지로 '다항함수, 지수함수, 삼각함수'이다.

 

3. Jacobian applied

• 위 예시에서 Jacobian vector는 원점에서 영벡터가 되고 나머지에서는 원점에 가까울수록 그 크기(magnitude)가 커진다.

나머지 좌표에 대해서도 J를 구하면 이와 같다.

3D로 시각화한 결과

 

• 두 개 이상의 Jacobian vector를 stacking할 수 있다.
  이것이 곧 matrix가 된다.
• Jacobian matrix를 통해 다른 사상으로 표현할 수도 있다는 것을 확인할 수 있게된 것이다.
  또한 linear(선형적인)하지 않은 것들에 대해서도 접근할 수 있다는 점에도 주목할 필요가 있다.

삼각함수를 이용한 또다른 Jacobian matrix 예시, 행렬식이 반지름 r로 나온다.

 

4. Bigger Jacobians!

• Jacobian matrix 구하기(5문제)
  • 2,3차원의 matrix를 구하는 문제들로 구성되어 있다.

 

 

 

출처: Coursera, Mathematics for Machine Learning: Multivariate Calculus, Imperial College London.