고윳값

1. Speical eigen-cases 1) uniform scaling 모든 벡터가 고유벡터 2) rotation non-zero pure rotation이 존재 적어도 몇몇의 고유벡터를 가지는 180도 pure rotation 정확히 반대 방향을 가리키고 있지만 여전히 같은 span 위에 존재한다. 고윳값은 -1 이 된다. 벡터의 길이는 동일하지만 반대 방향을 가리킨다는 의미다. 3) combination of horizontal shear and a vertical scaling horizontal shear에는 기존의 세 벡터 중 horizontla vector만 고유벡터로 인식된다. 하지만 나머지 두 벡터 사이의 보이지 않는 벡터는 선형변환 이전, 이후 둘 다 같은 span 위에 위치한다. 아..

1. What are eigenvalues and eigenvectors? eigenvectors(고유벡터) horizontal, vertical vectors are special horizontal vectors' length was unchanged 이 벡터들의 길이를 eigenvalue(고윳값)라고 한다. 이 개념을 3,4차원 이상으로 확장할 수 있다. horizontal은 그대로 유지, vertical만 두 배로 확장했더니 나머지 벡터의 각과 길이가 달라진다. 그렇기 때문에 horizontal, vertical vectors가 special하다고 한 것이다. shear의 경우 horizontal을 제외한 두 벡터가 달라진다. 하지만 rotation의 경우 어떤 벡터도 변화를 겪지 않았다. 2. ..

5.1.1. 손 계산과 차이점 특성방정식의 랭크를 정밀하게 구하는 것 자체가 어렵다 P^-1AP = 대각행렬 또는 상삼각행렬 꼴로 변형한다. 우변 행렬의 대각성분이 고윳값이 된다. 이 경우 고차랭크방정식을 푸는 과정을 생략할 수 있다. 5.1.2. 갈루아 이론 5차 미만의 대수방정식에는 해의 공식이 존재한다. 5차 이상의 대수방정식에는 해의 공식이 존재하지 않는다. 해를 구하는 절차가 존재하다면 이를 공식으로 만들 수 있다는 뜻이다. 하지만 공식의 형태로 나타내는 것이 지나치게 복잡하면 그렇게 하지 않는다. 예를 들어 3,4차 방정식에 대해서는 절차로만 나타낸다. 5.1.3. 5x5 이상 행렬의 고윳값을 구하는 순서는 존재하지 않는다! 5차 이상의 대수방정식을 푸는 순서가 존재하지 않으므로 위 진술이 자..

4.7.1. 먼저 결론 폭주 판정의 결론은 거의 변하지 않는다. 단, 특수한 경우 미묘한 문제가 발생한다. 4.7.2. 대각까지는 못하더라도 - 요르단표준형 대각화할 수 없는 정방행렬 A라도 대각에 가까운 요르단 표준형이라면 반드시 변환할 수 있다. 블록대각(블록정방행렬이고, 대각블록 이외는 모두 0) 대각블록의 성질 대각성분에 같은 수가 나열 하나 오른쪽 위는 1이 비스듬히 늘어섬 위와 같은 것을 요르단 셀이라고 한다. 여기서는 크기 5, 2, 1, 3 짜리 요르단 셀이 늘어서 있다. 행렬 A를 변환하여 만들 수 있는 요르단 표준형은 한 가지이다. 4.7.3. 요르단 표준형의 성질 폭주 판정과 관련이 있다. 고윳값, 고유벡터의 모양이 보인다. 거듭제곱을 구체적으로 계산할 수 있다. 요르단 표준형의 고윳..

연속시간 시스템에 대해서도 폭주를 판정해야 한다. 4.6.1. 미분방정식 미분방정식 미지의 함수와 그 미분을 포함하는 등식을 보고, 이 등식이 성립하는 함수를 답하는 것 상미분방정식 하나의 변수 t의 함수 x(t)에 대한 방정식인 것을 강조하는 경우 편미분방정식과 대비한 호칭 4.6.2. 1차원일 때 4.6.3. 대각행렬일 때 a1, ... , an 중 하나라도 양수라면 폭주, 그렇지 않다면 폭주하지 않는다. 단, 이는 ai가 복소수가 아닐 때만 해당한다. 4.6.4. 대각화할 수 있는 경우 이 변환법은 이산시간의 경우와 동일하다. 4.6.5. 결론: 고윳값(실수부)의 부호 출처: 히라오카 카즈유키, 호리 겐, 『프로그래머를 위한 선형대수』, 이창신, 길벗, 2017.

4.5.1. 기하학적인 의미 고유벡터: A를 곱해도 신축만 되고, 방향은 변하지 않는다. 고윳값: 이 신축률(몇 배가 되는가)이 고윳값이다. 실행렬 A에서 복소수가 고윳값, 고유벡터인 경우가 있다. 4.5.2.고윳값, 고유벡터의 성질 λ,p는 정방행렬 A의 고윳값, 고유벡터, α는 임의의 수 A가 고윳값 0을 지니는 것 ↔ A가 특이 1.7p, -0.9p 도 A의 고유벡터. 일반적으로 α가 0이 아니면 αp는 A의 고유벡터 같은 고윳값 λ의 고유벡터 q에 대해 p + q 도 A의 고유벡터, 단 p + q = 0 인 경우는 제외 p는 1.7A나 -0.9A의 고유벡터 p는 A^2이나 A^3의 고유벡터 p는 A의 역행렬의 고유벡터 대각행렬 diag(a1,...,an) 의 고윳값은 a1,...,an. 블록행렬판..