4.4. 대각화할 수 있는 경우

4.4.1. 변수변환

 

우선은 구체적인 예

• x1, x2에 대한 식을 y1, y2로 치환하여 재배치

• 따라서 x1, x2도 폭주한다.

 

행렬로 바꿔 말하면

 

일반화

 

1. 힌트로 주어진 행렬 C를 사용하여 변수 x(t)를 다른 변수 y(t) = Cx(t)로 변환한다.

2. x(t) 식으로 주어진 차분방정식을 y(t) 식으로 다시 쓴다.

3. 고쳐 쓴 식은 '대각 행렬'이 된다.

4. 풀어서 얻은 y(t)를 x(t)로 되돌리면 답이다.

• x와 y가 일대일 대응할 수 있도록 C는 정칙행렬로 가정한다.

• 대각화하는 방법은 한 가지다.

 

4.4.2. 좋은 변환을 구하는 방법

• 대부분의 정방행렬 A에 대해 P^-1AP는 대부분 대각행렬이 된다.

 

좋은 P를 구하기 위해서는

1. A의 고윳값에 대응하는 고유벡터를 구한다.

2. 고유벡터를 나열하여 P = (p1, ... , pn)으로 둔다.

• 이때 P는 반드시 정칙이어야 한다.
• 고윳값, 고유벡터를 구하면 폭주 여부를 판정할 수 있다.

 

 

4.4.3. 좌표변환으로서의 해석

• 이때도 마찬가지로 P가 정칙인지 확실히 확인해야 한다.

 

 

4.4.4. 거듭제곱으로서의 해석

 

x(t) = A'x(0)에 대해

• A가 대각인 경우

• A가 대각이 아닌 경우

 

 

4.4.5. 결론: 고윳값의 절댓값 나름

 

 

 

출처: 히라오카 카즈유키, 호리 겐, 『프로그래머를 위한 선형대수』, 이창신, 길벗, 2017.