4.5. 고윳값, 고유벡터

4.5.1. 기하학적인 의미

 

고유벡터: A를 곱해도 신축만 되고, 방향은 변하지 않는다.

고윳값: 이 신축률(몇 배가 되는가)이 고윳값이다.

 

• 실행렬 A에서 복소수가 고윳값, 고유벡터인 경우가 있다.

 

 

4.5.2.고윳값, 고유벡터의 성질

 

λ,p는 정방행렬 A의 고윳값, 고유벡터, α는 임의의 수

• A가 고윳값 0을 지니는 것 ↔ A가 특이
• 1.7p, -0.9p 도 A의 고유벡터. 일반적으로 α가 0이 아니면 αp는 A의 고유벡터
• 같은 고윳값 λ의 고유벡터 q에 대해 p + q 도 A의 고유벡터, 단 p + q = 0 인 경우는 제외
• p는 1.7A나 -0.9A의 고유벡터
• p는 A^2이나 A^3의 고유벡터
• p는 A의 역행렬의 고유벡터
• 대각행렬 diag(a1,...,an) 의 고윳값은 a1,...,an.
• 블록행렬판

• 블록대각행렬의 고윳값, 고유벡터는 대각블록별로 생각하면 된다.
• 상삼각행렬이나 하삼각행렬의 고윳값은  대각성분 그 자체다.
• 닮음변환으로 고윳값은 변하지 않는다.
• 행렬식은 고윳값의 곱이다.

 

고유벡터의 선형독립성

 : 다른 고윳값에 대응하는 고유벡터는 선형독립이다.

 : 정방행렬A의 다른 고윳값 λ에 대응하는 고유벡터 p,q에서 q = αp가 될 수 없다.

• 고윳값이 여러 종류가 되어도 성질이 유지된다.
• 정방행렬 A가 서로 다른 고윳값 n개를 지니면 대응하는 고유벡터를 나열한 행렬 P는 정칙이고,
  P^-1AP= diag(λ1,...,λn)으로 대각화할 수 있다.

 

 

4.5.3. 고윳값의 계산: 특성방정식

• 고유다항식, 고유방정식이라고 부르기도 한다.
• 대각행렬, 삼각행렬 등에서 편리하게 계산할 수 있다.

• 이와 같이 실행렬 A라도 고윳값, 고유벡터는 복소수인 경우가 존재한다.

 

 

 

4.5.4. 고유벡터의 계산

중복고윳값(성질이 좋은 경우)

• 이중해에 대해 선형독립인 고유벡터가 정확히 두 개 취해지는 것
• 이 성질이 대각화 가능성과 직결된다

중복고윳값(성질이 나쁜 경우)

• 이중해의 고윳값에 대해 선형독립인 고유벡터를 한 개밖에 취할 수 없다.
• 따라서 대각화가 불가능하다.

 

 

 

출처: 히라오카 카즈유키, 호리 겐, 『프로그래머를 위한 선형대수』, 이창신, 길벗, 2017.