프로그래머를 위한 선형대수

4.5.1. 기하학적인 의미 고유벡터: A를 곱해도 신축만 되고, 방향은 변하지 않는다. 고윳값: 이 신축률(몇 배가 되는가)이 고윳값이다. 실행렬 A에서 복소수가 고윳값, 고유벡터인 경우가 있다. 4.5.2.고윳값, 고유벡터의 성질 λ,p는 정방행렬 A의 고윳값, 고유벡터, α는 임의의 수 A가 고윳값 0을 지니는 것 ↔ A가 특이 1.7p, -0.9p 도 A의 고유벡터. 일반적으로 α가 0이 아니면 αp는 A의 고유벡터 같은 고윳값 λ의 고유벡터 q에 대해 p + q 도 A의 고유벡터, 단 p + q = 0 인 경우는 제외 p는 1.7A나 -0.9A의 고유벡터 p는 A^2이나 A^3의 고유벡터 p는 A의 역행렬의 고유벡터 대각행렬 diag(a1,...,an) 의 고윳값은 a1,...,an. 블록행렬판..

4.4.1. 변수변환 우선은 구체적인 예 x1, x2에 대한 식을 y1, y2로 치환하여 재배치 따라서 x1, x2도 폭주한다. 행렬로 바꿔 말하면 일반화 1. 힌트로 주어진 행렬 C를 사용하여 변수 x(t)를 다른 변수 y(t) = Cx(t)로 변환한다. 2. x(t) 식으로 주어진 차분방정식을 y(t) 식으로 다시 쓴다. 3. 고쳐 쓴 식은 '대각 행렬'이 된다. 4. 풀어서 얻은 y(t)를 x(t)로 되돌리면 답이다. x와 y가 일대일 대응할 수 있도록 C는 정칙행렬로 가정한다. 대각화하는 방법은 한 가지다. 4.4.2. 좋은 변환을 구하는 방법 대부분의 정방행렬 A에 대해 P^-1AP는 대부분 대각행렬이 된다. 좋은 P를 구하기 위해서는 1. A의 고윳값에 대응하는 고유벡터를 구한다. 2. 고유벡..

4.2. 1차원의 경우 어떤 문제에 대해 우선 쉬운 경우를 생각한다. 일반적인 경우도 변환하여 쉬운 경우로 귀착시킨다. 4.3. 대각행렬의 경우 단, a1, ... , an 중 하나라도 1보다 크면 폭주한다. 출처: 히라오카 카즈유키, 호리 겐, 『프로그래머를 위한 선형대수』, 이창신, 길벗, 2017.

마법의 상자 - input에 대응하는 output이 나온다. 제어 대상의 모델 신호 전달의 모델 예측 필터 자기회귀모델 이산시간: 어제, 오늘, 내일 연속시간: 미분방정식 적용 폭주 여부 현재값이 이전값보다 증가하는 경우 폭주(불안정) 현재값이 이전보다 감소하는 경우 폭주 x(안정) 사상 원래의 기저 대신 적절한 기저로 표현하는 좌표변환을 사용해야 한다. 이를 위해 고유벡터를 활용할 예정 출처: 히라오카 카즈유키, 호리 겐, 『프로그래머를 위한 선형대수』, 이창신, 길벗, 2017.

역행렬 실제로는 A의 역행렬 자체가 아니라 '어느 벡터 y에 대한 A의 역행렬 곱하기 y'를 구한다. 이는 연립일차방정식 Ax = y 를 푼 것으로 해석된다. 3.8.1. 정렬이 필요한 상황 대각 성분 중 0인 값이 존재하는 경우 A = LU로 분석하는 것이 불가능하다. 이론 대각성분에서 0을 만나게 되면 나머지 행 중에 0이 아닌 것과 교체한다. 구현 행의 값을 실제로 교체하는 것은 비효율적이므로 간접 참조하도록 한다. 컴퓨터에서는 0도 근사값을 반올림하여 표시할 뿐이다. 따라서 '절댓값이 최대인 것을 고른다'는 방식을 취한다. 3.8.2. 정렬해도 앞이 막혀버리는 상황 피보팅(행의 교체)만으로 해결되지 않는 경우 열까지도 교체하여 분해를 시도할 수 있다. 정사각인데도 도중에 막히는 경우는 어차피 정칙..

3.4. LU 분해의 순서 앞 절의 설명한 LU 분해의 순서를 형식적으로 풀어낸 과정 분해를 했더라도 L, U를 각각 행렬로서 다루면 메모리를 비효율적으로 사용하게 된다. 비어 있는 장소나 1로 정해져 있는 장소 등은 기록할 필요가 없다. 3.5. LU 분해 정방행렬 A에 대하여 A = LU 상태로 분해되면 행렬식 det A는 바로 구해진다. 3.6. 일차방정식 LU 분해로 풀다 방향과 계획 푸는 방법 연산량 변수소거법 가우스 요르단 소거법(Ax = y) LU 분해 Lz = y로 풀다 Ux = z를 풀다 나눗셈 n n n 0 n 곱셈 n^3 / 3 n^3 / 2 n^3 / 3 n^2 / 2 n^2 / 2 뺄셈 n^3 / 3 n^3 / 2 n^3 / 3 n^2 / 2 n^2 / 2 같은 A에서 여러 가지 ..