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1. Speical eigen-cases 1) uniform scaling 모든 벡터가 고유벡터 2) rotation non-zero pure rotation이 존재 적어도 몇몇의 고유벡터를 가지는 180도 pure rotation 정확히 반대 방향을 가리키고 있지만 여전히 같은 span 위에 존재한다. 고윳값은 -1 이 된다. 벡터의 길이는 동일하지만 반대 방향을 가리킨다는 의미다. 3) combination of horizontal shear and a vertical scaling horizontal shear에는 기존의 세 벡터 중 horizontla vector만 고유벡터로 인식된다. 하지만 나머지 두 벡터 사이의 보이지 않는 벡터는 선형변환 이전, 이후 둘 다 같은 span 위에 위치한다. 아..

1. What are eigenvalues and eigenvectors? eigenvectors(고유벡터) horizontal, vertical vectors are special horizontal vectors' length was unchanged 이 벡터들의 길이를 eigenvalue(고윳값)라고 한다. 이 개념을 3,4차원 이상으로 확장할 수 있다. horizontal은 그대로 유지, vertical만 두 배로 확장했더니 나머지 벡터의 각과 길이가 달라진다. 그렇기 때문에 horizontal, vertical vectors가 special하다고 한 것이다. shear의 경우 horizontal을 제외한 두 벡터가 달라진다. 하지만 rotation의 경우 어떤 벡터도 변화를 겪지 않았다. 2. ..

1. The Gram-Schmidt process 선형독립인지 확인하고 싶으면 행렬식이 0인지 아닌지를 구해볼 것 위와 같은 방식으로 n개의 벡터를 정규화 하면 된다. 주어진 벡터를 이용해서 서로 수직인 벡터들을 만드는 방법이다. 현재 벡터와 여기에 이전 벡터들과 수직인 사영 벡터를 전부 빼주면 된다. 2. Gram-Schmidt process 그람 슈미츠 직교화를 주피터 노트북으로 구현하는 문제 빈칸을 채우는 방식으로 그렇게 어렵지는 않다 3. Example: Reflecting in a plane v1, v2는 평면을 구성하는 벡터, v3는 그 밖의 벡터이다. 그람-슈미트 직교화를 통해 기저 벡터 E를 구한다. e3에 대해 대칭인 위치를 찾고자 하는 것이므로 다른 벡터 두 개는 그대로, e3는 음수로..

Orthogonal matrices 행과 열을 바꾼 것을 전치행렬이라고 한다. 전치행렬과 기존 행렬의 곱이 단위 행렬이 되는 경우, 이때의 행렬을 orthogonal matrix라고 한다. 즉, 전치행렬이 곧 역행렬이 되는 경우이고, 곱의 순서는 바뀌어도 상관 없다. 역행렬의 존재 가능 여부를 따질 때 사용된다. 출처: Coursera, Mathematics for Machine Learning: Linear Algebra, Imperial College London

1. Matrices changing basis 검정색은 나의 기저벡터를, 파란색은 곰돌이의 기저벡터를 의미한다. 곰돌이의 기준을 나의 기준으로 표현하거나 그 반대를 시도한다. 곰돌이의 벡터를 나의 좌표계에서 표현하고, 곰돌이 좌표계 기준의 벡터 하나를 곱한다. 그 결과는 나의 기준으로 표현된다. 이 결과에 역행렬을 곱해주면 곰돌이의 벡터를 기준으로 위치가 표현된다. 곰돌이와 나의 기저 벡터를 표현한 또 다른 예 위에서 확인했던 것처럼 곰돌이의 한 좌표를 나의 벡터를 기준으로 곱해주면 내 기준의 위치 표현이 된다. 이를 거꾸로 하는 과정은 역행렬을 통해 수행한다. 단, 곰돌이의 기저벡터가 서로 직교(orthogonal to each other)하는 경우, 내적을 통해 구할 수 있다. 2. Doing a ..

1. Introduction: Einstein summation convention and the symmetry of the dot product the summation convention gives you a quick way of coding up these sorts of operations 행렬곱의 규칙 두 행렬의 곱으로 나오는 만들어지는 행렬은 앞 행렬의 행, 뒷 행렬의 열의 개수로 구해진다. 내적의 기하학적 의미 벡터 u에서 단위 벡터 e1에 내린 projection, 단위 벡터 e2에 내린 projection을 기준으로 대칭되는 삼각형이 만들어진다. 2. Non-square matrix multiplication (Quiz 8) 행렬곱, 내적에 관한 8개 문제 특정 한 원소만 계산하기 내..